Ожидаемая доходность. Примеры решения задач. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение Определить ожидаемую доходность портфеля из активов
Ожидаемая доходность и стандартное отклонение. Этот пример позволит вам на практике рассчитать показатели, которые мы можем ожидать от инвестиционного портфеля. Даны два вида акций и три состояния экономики:
Рассчитайте стандартное отклонение и ожидаемую доходность для каждого типа акций.
Риск портфеля и доходность. Вернемся к примеру 11.1 и предположим, что всего вы имеете $20000. Если вы вложите $6000 в акции A , а остальное в B , какими будут ожидаемая доходность и стандартное отклонение вашего портфеля?
Риск и доходность. Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию:
| Ценные бумаги | Бета | Ожидаемая доходность |
| Cooley, Inc. | 1,6 | 19% |
| Moyer Co. | 1,2 | 16% |
Если ставка, свободная от риска, составляет 8%, правильно ли оценены данные ценные бумаги? Какой должна была бы быть ставка, свободная от риска, если ценные бумаги оценить правильно?
CAPM . Предположим, что ставка, свободная от риска, составляет 8%. Ожидаемая доходность на рынке составляет 14%. Если конкретный вид актива имеет (3 = 0,6, то какова ожидаемая доходность этого актива, основываясь на CAPM ? Если другой актив имеет ожидаемую доходность 20%, то какой должен быть (3 коэффициент?
Ответы
Ожидаемые доходности рассчитываются как произведение возможных доходностей на их вероятности:
E(R A ) = 0,1 х (-0,2) + 0,6 х (0,1) + 0,3 х (0,7) = 25% E(RB) = 0,1 х (0,3) + 0,6 х (0,2) + 0,3 х (0,5) = 30%
Непостоянство рассчитывается как сумма произведений квадратов отклонения ожидаемых доходностей на их вероятности:
Од = 0,1 х (-0,2 - 0,25)2 + 0,6 х (0,1 - 0,25)2 + 0,3 х (0,7 - 0,25)2 = = 0,1 х (-0,45)2 + 0,6 х (-0,15)2 + 0,3 х (0,45)2 = = 0,1 х 0,2025 + 0,6 х 0,0225 + 0,3 х 0,2025 = 0,0945
а2, = 0,1 х (0,3 - 0,3)2 + 0,6 х (0,2 - 0,3)2 + 0,3 х (0,5 - 0,3)2 =
0,1 х (0,0)2 + 0,6 х (-0,1)2 + 0,3 х (0,2)2 =
0,1 х 0,0 + 0,6 х 0,01 + 0,3 х 0,04 = 0,0180 Стандартные отклонения равны: аА = УО,0945 =30,74% aB = VO,0180 = 13,42%
Вес каждого типа акций в портфеле составляет: $6000/20000 = 0,3 и $14000/20000 = 0,7. Тогда ожидаемая доходность портфеля составит:
Щ/У = 0,3 х E(RA) + 0,7 х E(RB) = 0,3 х 25% + 0,7 х 30% = 28,50%
Тогда доходность портфеля составляет
E(R p ) = 0,1 х (0,15) + 0,6 х (0,17) - 0 3 х (0,56) = 28,50%.
Это тот же самый результат, что мы получили ранее.
Рассчитаем непостоянство портфеля
Ор = 0,1 х (0,15 - 0,285)2 + 0,6 х (0,17 - 0,285)2 + 0,3 х (0,56 - 0,285)2 = 0,03245
Тогда стандартное отклонение есть корень квадратный из 0,03245 и равно 18,01%
Если мы рассчитаем коэффициент награды за риск для ценных бумаг каждой компании, мы в результате получим (19% - 8%)/1,6 = 6,875% для Cooley и 6,67% для Моуег По отношению к Cooley ожидаемая доходность Моуег слишком низкая, поэтому ее цены слишком высокие
Если ценные бумаги обеих компаний оценены правильно, то они должны предлагать одинаковый коэффициент награды за риск Таким образом, мы можем составить уравнение
(19% - Rj)/],6 = (16% - Rf)/l,2
Произведя небольшие алгебраические преобразования, мы получим /?у= 7%
(19% - Rf) = (16% - ЯД 1,6/1 ,2) 19% - 16% х (4/3) = Rf - Rf x (4/3) йу=7%
Так как рыночная ожидаемая доходность составляет 14%, то рыночная премия риска соответственно (14% - 8%) = 6% (ставка, свободная от риска, равна 8%) Первый вид ценных бумаг имеет Р = 0,6, значит ожидаемая доходность составляет 8% + 0,6x6%= 11,6%
Для второго вида премия риска составляет 20% - 8% = 12% Так как это ровно в два раза превышает рыночную премию риска, то и р коэффициент должен быть точно равен 2 Мы можем проверить это используя теорию CAPM
20% = 8% + х р Р, = 12%/6% = 2,0
Вопросы и задачи
Ожидаемые доходности портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли ожидаемая доходность такого портфеля быть больше, чем доходность каждого актива в этом портфеле? Меньше? Если у вас положительный ответ на один или оба вопроса, пожалуйста приведите пример, чтобы аргументировать ваше решение.
Непостоянство индивидуального актива и диверсификация. Правда или нет: наиболее важной характеристикой при определении ожидаемой доходности хорошо диверсифицированного портфеля являются непостоянства индивидуальных активов портфеля. Объясните.
Риск портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли стандартное отклонение такого портфеля быть меньше, чем стандартное отклонение каждого актива в этом портфеле? Что вы можете сказать о b такого портфеля?
Доходности портфеля. Используя информацию предыдущей главы об истории рынка ценных бумаг, определите, какой была доходность портфеля, который былодинаково распределен между обыкновенными акциями и долгосрочными правительственными облигациями? Который одинаково распределен между малыми акциями и векселями Казначейства?
CAPM . Используя CAPM , докажите, что коэффициент премии риска двух активов равен их коэффициентам р.
Доходности портфеля и отклонения. Имея следующую информацию о портфеле, состоящем из трех видов ценных бумаг, определите:
Если вы инвестировали по 30% в A и B , 40% в C , какой будет ожидаемая доходность портфеля? Непостоянство? Стандартное отклонение?
Если ожидаемый уровень доходности T-bill составляет 5,25%, то какой будет премия риска портфеля?
Если ожидаемый уровень инфляции составляет 5%, то какова реальная ожидаемая доходность портфеля? Какова реальная премия риска портфеля?
Анализ портфеля. Вы хотите создать портфель с таким же уровнем риска, что и фондовый рынок в целом. У вас есть $200000. Имея нижеприведенную информацию, заполните недостающие позиции:
| Актив | Инвестиции, $ | b |
| Вид A | 1,20 | |
| Вид B | 0,85 | |
| Вид C | ?? | 1,40 |
| Актив, свободный от риска | ?? | ?? |
Анализ портфеля. Вы имеете $100000 для инвестиций либо в ценные бумаги типа D , либо в F, либо в актив, свободный от риска. Вы должны вложить все ваши деньги. Ваша цель – создание портфеля с ожидаемой доходностью 10% и только с 60% риска, по сравнению с остальным рынком. Если D имеет ожидаемую доходность 20% и Р = 1,50, F имеет ожидаемую доходность 15% и Р = 1,15, ставка, свободная от риска составляет 5%, то сколько денег вы вложите в F?
Систематический риск против несистематического. Вы имеете следующую информацию:
Рыночная премия риска составляет 8% и ставка, свободная от риска, равна 6%. Какой вид ценных бумаг имеет наибольший систематический риск? Какой вид имеет наибольший несистематический риск? Какой вид ценных бумаг наиболее рискованный? Объясните.
Вопросы повышенной сложности
Коэффициенты b. Может ли рискованный актив иметь b = 0? Объясните. Используя модель CAPM , какой будет ожидаемая доходность такого актива? Может ли рискованный актив иметь отрицательный b коэффициент? Что предсказывает CAPM об уровне ожидаемой доходности для такого актива? Можете ли вы пояснить свой ответ?
Линия состояния фондового рынка (SML ). Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию:
| Ценные бумаги компании | b | Ожидаемая доходность |
| Abel Co. | 1,15 | 18% |
| Baker Co. | 0,80 | 15% |
Допустим, что эти ценные бумаги правильно оценены. Основываясь на CAPM , определите, какой будет ожидаемая рыночная доходность? Какова ставка, свободная от риска?
Экзамен CFA – экзамен на получение сертификата финансового аналитика, который выдается специалистам в области инвестиций в США.
В таблице 8.1 представлены три варианта (сценария) возможного развития событий: пессимистический, средний и оптимистический . Определена также вероятность их наступления. Сумма вероятностей равна единице. Вероятность наступления какого-либо события менеджер оценивает на основе статистических данных за прошедший период с учетом мнений экспертов или опираясь на собственные прогнозы. Так, если прогнозируется событие, которое уже имело место в прошлом, менеджер, руководствуясь статистическими материалами, может довольно точно определить вероятность его наступления. Взять, к примеру, компанию, которая страхует клиентов от несчастного случая. Если в прошлом на 1000 застрахованных было зафиксировано 25 несчастных случаев, то вероятность этого события можно оценить как 2,5%.
При прогнозировании сложных экономических ситуаций или при оценке принципиально новых инвестиционных проектов статистика отсутствует. В этих случаях менеджеры вынуждены прибегать к оценкам экспертов, финансовых консультантов, к результатам научных исследований и собственного опыта. В этом случае чрезвычайно важен квалифицированный отбор экспертов и корректная обработка их мнений. Только так можно получить объективный результат.
Имея экспертную оценку вероятности по каждому из сценариев, можно определить наиболее вероятный исход по каждому из проектов. Для этого рассчитывается ожидаемая доходность (В ). Это делается по формуле:
где Д i - доходность по сценарию i ;
p i - вероятность развития событий по сценарию i ;
n - общее число возможных сценариев.
Наиболее вероятный результат, исходя из возможных сценариев, для каждого из проектов составит:
Д А = 0,25· 20 + 0,5 · 30 + 0,25 · 40 = 30% ;
Д B = 0,25 · 10 + 0,5 · 30 + 0,25 · 50 = 30% .
Итак, наиболее вероятная доходность по проекту А и проекту В будет одинаковой, и составит 30%. Однако разброс (вариация) ожидаемых доходностей по проекту В больше. Он колеблется от 10 до 50%. По проекту А разброс доходностей ниже: от 20 до 40%. Уже на основе этих данных можно сделать предварительный вывод, что проект В является более рискованным. Здесь отклонение ожидаемых доходностей от наиболее вероятного результата значимее.
Но как оценить степень риска? Для этого необязательно строить графики оцениваемых показателей для всех проектов. Достаточно использовать такие измерители, как дисперсия, среднеквадратическое (стандартное) отклонение, коэффициент вариации.
Дисперсия характеризует степень разброса возможных результатов от наиболее вероятного значения, присущего проекту. Дисперсия (δ 2) дискретного распределения рассчитывается по формуле:
,
На основе данных, представленных в таблице 8.1, определим дисперсию для проектов А и В :
Как видим, проект В имеет более высокое значение дисперсии, и его поэтому можно оценить как более рискованный. Если менеджеры не склонны рисковать, то они отдадут предпочтение проекту А .
На основе показателя дисперсии рассчитывают среднеквадратическое (стандартное) отклонение - статистическую меру вариации или широты распределения:
.
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и оцениваемый показатель. Если мы пытаемся оценить доходность в процентах, то и стандартное отклонение также будет измеряться в процентах. В нашем примере стандартное отклонение для проекта А равно = 7,07%, а для проекта В = = 14,1%, что вновь подтверждает более высокий риск проекта В .
Итак, на основе показателей дисперсии и стандартного отклонения можно сделать вывод о большей рискованности проекта В . Данный вывод абсолютно справедлив, поскольку наиболее вероятная доходность по обоим рассматриваемым проектам одинакова и составляет 30%. А как быть в том случае, если по одному из проектов доходность и стандартное отклонение выше, чем по другому. Рассмотрим пример данных по проекту I и проекту II (табл. 8.2).
Таблица 8.2
Риск и доходность по проектам (цифры условные), %
Проект I является более доходным по сравнению с проектом II, но одновременно он имеет и большую степень риска. Стандартное отклонение по проекту составляет 7,5%, а по проекту II - только 6,1%. Для принятия решения в данном случае необходимо рассчитать коэффициент вариации.
Коэффициент вариации показывает меру относительной рискованности и характеризует риск на единицу наиболее вероятного результата. Коэффициент вариации (CV) рассчитывается как отношение стандартного отклонения к ожидаемому результату:
В рассматриваемом примере коэффициент вариации для проекта I равен 7,5: 30 = 0,25. Для проекта II характерна иная цифра: 6,1: 25 = 0,24. Чем выше коэффициент вариации, тем больше степень риска на единицу результата. Следовательно, проект I, имеющий более высокий коэффициент вариации, является более рискованным. Несмотря на то, что проект I предполагает более высокую доходность, грамотный финансист предпочтет проект II. Здесь относительный риск (на единицу доходности) все-таки ниже.
Древо вероятностей
Измерение риска на основе дисперсии базируется на показателях вероятности наступления события по каждому из рассматриваемых сценариев. Однако оценка события и вероятность его наступления со временем меняются, поскольку трансформируются и внутренние факторы, оказывающие влияние на деятельность компании. По прошествии нескольких этапов появляются промежуточные результаты. Это позволяет более точно оценивать вероятность наступления последующих событий. Как правило, результат, полученных на первом этапе, оказывает влияние на итоги всех последующих. Словом, существует определенная зависимость между результатами, полученными в разные периоды осуществления проекта.
Понятно, что результат первого периода неизбежно обусловливает ряд возможных вариантов развития событий в следующем периоде. Если же в ходе первого периода будет достигнут другой результат из-за развития событий по иному сценарию, то в дальнейшем появится другое множество вариантов. Для оценки временного фактора, когда меняется математическое ожидание и дисперсия вероятного распределения по мере перехода от одного этапа к другому, строится древо вероятностей, где:
1, 2 - исходные вероятности, соответственно, лучшая и худшая;
1.1, 2.1 - условные лучшие вероятности;
1.2, 2.2 - условные худшие вероятности.
По оси ординат показывается результирующий показатель проекта, в качестве которого может выступать доходность, денежный поток и т.п. На рис. 8.1 в качестве результирующего показателя рассматривается денежный поток: чем он больше, тем эффективнее проект. На рисунке представлены денежные потоки в течение трех периодов .
По истечении первого периода могут быть достигнуты два результата: лучший - верхняя ветвь и худший - нижняя ветвь. Каждый из полученных результатов, в свою очередь, дает несколько последующих вариантов, так как при достижении лучшего варианта по итогам первого периода развитие будет осуществляться по одному сценарию, а в случае получения худшего результата - по другому. Аналогичная картина наблюдается при завершении второго периода и переходе к третьему периоду .
В рассматриваемом примере начало первого периода не зависит от событий, которые были прежде. Вероятные результаты получаются при завершении первого периода (первые две ветви). Их называют исходными вероятностями. Для всех последующих периодов результаты зависят от развития предыдущих событий. Поэтому вероятности, соответствующие в нашем примере второму и третьему периодам, называют условными. Следовательно, если изучить цепочку исходной и условных вероятностей в их единстве, то получим совместную вероятность развития событий.
Пример 8.1
Рассмотрим пример расчета чистых денежных потоков по проекту для двух периодов. Первоначальные вложения составили 20 млн руб. в период 0. В результате этих вложений возможны два варианта денежных потоков в 1-м периоде. С вероятностью 0,4 будет получен убыток в 10 млн руб. и с вероятностью 0,6 - положительный денежный поток, равный 15 млн руб.
Отрицательный поток на 1-м периоде в размере 10 млн руб. вызывает во 2-м периоде с вероятностью 0,3 денежный поток, равный 12 млн руб., и с вероятностью 0,7 - поток, равный 22 млн руб. Положительный поток в размере 15 млн р., в свою очередь, на втором этапе с вероятностью 0,4 вызывает денежный поток в сумме 30 млн руб. и с вероятностью 0,6 - денежный поток, равный 40 млн руб. Таким образом, исходная вероятность в размере 0,4 разделяется на совместные вероятности 0,12 и 0,28, а исходная вероятность 0,6 - на 0,24 и 0,36.
Выделим общие закономерности, отражающие взаимную связь между принимаемым риском и ожидаемой доходностью деятельности инвестора:
— более рискованным вложениям, как правило, присуща более высокая доходность;
— при росте дохода уменьшается вероятность его получения, в то время как определенный минимально гарантированный доход может быть получен практически без риска.
Напомним, что инвестиционный портфель ценных бумаг — совокупность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу либо физическим или юридическим лицам на правах долевого участия, выступающая как целостный объект управления. В него могут входить как инструменты одного вида (например, акции или облигации), так и разные активы: ценные бумаги, производные финансовые инструменты, недвижимость.
Главная цель формирования портфеля состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком уровне ожидаемого риска. Данная цель достигается, во-первых, за счет диверсификации портфеля, то есть распределения средств инвестора между различными активами («Не кладите все яйца в одну корзину»), и, во-вторых, тщательного подбора финансовых инструментов.
Обратите внимание!
Современная теория и практика говорят о том, что оптимальная диверсификация достигается при количестве в портфеле от 8 до 20 различных видов ценных бумаг. Дальнейшее увеличение состава портфеля нецелесообразно, так как возникает эффект излишней диверсификации, который может привести к следующим отрицательным результатам:
— невозможность качественного портфельного управления;
— покупка недостаточно надежных, доходных, ликвидных ценных бумаг;
— высокие издержки поиска ценных бумаг (расходы на предварительный анализ и т. д.);
— высокие издержки по покупке небольших партий ценных бумаг и т. д.
Издержки по управлению излишне диверсифицированным портфелем не дадут желаемого результата, так как доходность портфеля вряд ли будет возрастать более высокими темпами, чем издержки в связи с излишней диверсификацией.
Формирование и управление портфелем ценных бумаг — область деятельности профессионалов, а создаваемый портфель — это товар, который может продаваться либо частями (продают доли в портфеле для каждого инвестора), либо целиком (когда менеджер берет на себя труд управлять портфелем ценных бумаг клиента). Как и любой товар, портфель определенных инвестиционных свойств может пользоваться спросом на фондовом рынке.
К сведению
Разновидностей портфелей много, и каждый конкретный держатель придерживается собственной стратегии инвестирования. В зависимости от соотношения доходности и риска определяется тип портфеля. При этом важным признаком при классификации портфеля является то, каким способом и за счет какого источника он был получен: за счет роста курсовой стоимости ценной бумаги или за счет текущих выплат — дивидендов, процентов.
В зависимости от источника дохода портфель ценных бумаг может быть портфелем роста или портфелем дохода.
Портфель роста формируется из акций компаний, курсовая стоимость которых растет. Цель портфеля — рост капитальной стоимости вместе с получением дивидендов. Различают несколько видов портфелей роста.
Портфель агрессивного роста нацелен на максимальный прирост капитала. Сюда входят акции молодых быстрорастущих компаний. Инвестиции в акции довольно рискованны, но могут принести самый высокий доход.
Портфель консервативного роста наименее рискованный, состоит из акций крупных компаний. Состав портфеля устойчив в течение длительного времени, нацелен на сохранение капитала.
Портфель среднего роста сочетает инвестиционные свойства портфелей агрессивного и консервативного роста. Наряду с надежными ценными бумагами сюда включаются рискованные фондовые инструменты. При этом гарантируются средний прирост капитала и умеренная степень риска вложений. Это наиболее популярный портфель среди инвесторов, не склонных к большому риску.
Портфель дохода ориентирован на получение высокого текущего дохода — процентных и дивидендных выплат. Здесь также различают несколько типов портфелей:
— портфель регулярного дохода — формируется из высоконадежных ценных бумаг и приносит средний доход при минимальном риске;
— портфель доходных бумаг — состоит из высокодоходных облигаций корпораций, ценных бумаг, приносящих высокий доход при среднем уровне риска.
Портфели роста и дохода формируются во избежание потерь на фондовом рынке как от падения курсовой стоимости, так и от снижения дивидендных выплат.
При разработке стратегии инвестирования необходимо учитывать состояние рынка ценных бумаг и постоянно оценивать инвестиционный портфель, своевременно приобретать высокодоходные ценные бумаги и максимально быстро избавляться от низкодоходных активов. Поэтому не нужно стараться охватить все многообразие существующих портфелей, необходимо лишь определить принципы их формирования.
Таким образом, оценка портфеля инвестиций — основной критерий принятия стратегических решений по покупке или продаже ценных бумаг.
Доходность портфеля ценных бумаг
Портфель ценных бумаг представляет собой совокупность различных ценных бумаг, и доходность его можно определить по следующей формуле:
Доходность портфеля = (Стоимость ценных бумаг на момент расчета - Стоимость ценных бумаг на момент покупки) / Стоимость ценных бумаг на момент покупки.
Пример 1
Имеются два альтернативных портфеля А и Б, в которые инвестировано по 100 тыс. руб. Через один год стоимость портфеля А составила 108 тыс. руб., портфеля Б — 120 тыс. руб. Соответственно, доходность портфеля А составит 0,08, или 8 % годовых ((108 тыс. руб. - 100 тыс. руб.) / 100 тыс. руб.), а портфеля Б — 20 % годовых.
Под ожидаемой доходностьюпортфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых значений доходности ценных бумаг, входящих в портфель. При этом «вес» каждой ценной бумаги определяется относительным количеством денег, направленных инвестором на покупку этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля равна:
R портфеля, % = R 1 × W 1 + R 2 × W 2 + ... + R n × W n ,
где R n — ожидаемая доходность i-й акции;
W n — удельный вес i-й акции в портфеле.
Пример 2
Предположим, что портфель формируется из двух акций А и Б, доходность которых составляет 10 и 20 % годовых соответственно (табл. 1).
Таблица 1. Доходность портфеля ценных бумаг
Доходность, например, первого портфеля составит: R портфеля 1 = 0,1 × 0,8 + 0,2 × 0,2 = 0,12, то есть 12 %.
Измерение риска портфеля ценных бумаг
Все участники фондового рынка действуют в условиях неполной определенности. Соответственно, исход практически любых операций купли-продажи ценных бумаг не может быть точно предсказан, то есть сделки подвержены риску. В общем случае под риском подразумевают вероятность наступления какого-либо события. Оценить риск — это значит оценить вероятность наступления события. Риск портфеля объясняется не только индивидуальным риском каждой отдельно взятой ценной бумаги портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изменений наблюдаемых ежегодных величин доходности одной акции на изменение доходности других акций, включаемых в инвестиционный портфель.
Общий риск портфеля состоит из систематического риска (недиверсифицируемого/рыночного/неспецифического), а также несистематического риска (диверсифицируемого/нерыночного/специфического). Рыночный риск вызван общими факторами, влияющими на все активы. Наиболее сильно влияют на систематический риск изменения таких показателей, как ВВП, инфляция, уровень процентных ставок, а также средний по экономике уровень корпоративной прибыли. Нерыночный риск связан с индивидуальными особенностями конкретного актива. Этот риск может быть уменьшен с помощью диверсификации.
К сведению
На развитых рынках для устранения специфического риска достаточно составить портфель из 30-40 активов. На развивающихся рынках эта цифра должна быть выше из-за высокой волатильности рынка.
Для того чтобы определить риск портфеля ценных бумаг, в первую очередь необходимо определить степень взаимосвязи и направления изменения доходностей двух активов. Например, если цена одной ценной бумаги идет вверх, то растет курс и другой ценной бумаги, и наоборот, движения цен разнонаправлены или полностью независимы друг от друга. Для определения связи между ценными бумагами используют такие показатели, как ковариация и коэффициент корреляции.
Ковариация — взаимозависимое совместное изменение двух и более признаков экономического процесса. Ковариация служит для измерения степени совместной изменчивости двух ценных бумаг, например акций .
Показатель ковариации определяется по формуле:
Соv ij = ∑ (R доходность i-й акции - R средняя доходность i-й акции) × (R доходность j-й акции - R средняя доходность j-й акции) / n - 1,
где n — число периодов, за которые рассчитывалась доходность i-й и j-й акций.
Пример 3
Определим значение ковариации для двух ценных бумаг А и Б. В табл. 2 приведены данные о доходности бумаг.
Таблица 2. Доходность ценных бумаг А и В
|
Доходность А |
Доходность В |
|
|
R средняя доходность акции |
||
R средняя доходность i -й акции = 0,1 + 0,16 + 0,14 + 0,17 / 4 = 0,1425, или 14,25 %.
Соv ij = ((0,1 - 0,1425) × (0,12 - 0,1475) + (0,16 - 0,1425) × (0,18 - 0,1475) + (0,14 - 0,1425) × (0,14 - 0,1475) + (0,17 - 0,1425) × (0,15 - 0,1475)) / 4 = 0,0004562.
Проанализируем, какое влияние на риск портфеля оказывают коэффициенты корреляции (Cor), входящие в портфель ценных бумаг.
К сведению
Корреляция — это математический термин, обозначающий систематическую и обусловленную связь между двумя рядами данных.
На рынке акций принято рассматривать корреляцию (взаимозависимость) разных акций, либо акций и индексов. Считается, что российские акции высоко коррелированы, то есть в определенный момент времени все акции движутся в одном направлении. Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Положительное значение коэффициента говорит о том, что доходности активов изменяются в одном направлении при изменении конъюнктуры, отрицательное — в противоположном. При нулевом значении коэффициента корреляция между доходностями активов отсутствует.
Показатель корреляция определяется по формуле:
Соr = Соv ij / (δ i × δ j),
где Соv ij — ковариация доходности i-й и j-й акции;
δ i — стандартное отклонение доходности i-й акции;
δ j — стандартное отклонение доходности j-й акции.
Дисперсия — это стандартное отклонение в квадрате, рассчитываемое по формуле:
δ 2 = ∑ (R доходность акции - R средняя доходность акции) 2 / n - 1.
Таким образом, стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.
В целом, используя данные корреляции, можно сделать выводы:
1) чем меньше коэффициент корреляции акций в портфеле, тем меньше риск портфеля, поэтому при формировании портфеля следует включить в него акции, имеющие наименьшую корреляцию;
2) если коэффициент корреляции акций в портфеле +1, то риск портфеля усредняется;
3) если коэффициент корреляции акций в портфеле меньше +1, то риск портфеля уменьшается;
4) если коэффициент корреляции акций в портфеле -1, то можно получить портфель без риска.
К сведению
Принцип формирования портфеля ценных бумаг, при котором снижение риска достигается за счет включения в портфель большого числа различных акций, называется диверсификацией. Основоположником данной теории считается Гарри Марковиц. В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц (в будущем лауреат Нобелевской премии в области экономики (1990 г.)) опубликовал фундаментальную работу, которая является до настоящего момента основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля. Диверсификация Марковица — это стратегия максимально возможного снижения риска при сохранении требуемого уровня доходности; она состоит в выборе таких активов, доходности которых будут иметь наименее возможную корреляцию.
Согласно теории Г. Марковица, при обосновании портфеля инвестор должен руководствоваться ожидаемой доходностью и стандартным отклонением. Интуиция при этом играет определяющую роль. Ожидаемая доходность рассматривается как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение — как мера риска, связанная с данным портфелем. При этом делается важное предположение, что инвестор при всех прочих условиях предпочтет высокую доходность, если будут заданы два портфеля с одинаковыми стандартными отклонениями. Если же инвестору предстоит выбор между портфелями, имеющими одинаковый уровень ожидаемой доходности, то предпочтение отдается портфелю с минимальным риском, то есть, по сути, получению большего дохода при минимуме возможного отклонения.
Теория Марковица стала огромным шагом на пути создания модели оценки стоимости активов Capital Asset Pricing Model (CAPM). Модель оценки стоимости активов описывает взаимосвязь между риском и ожидаемой доходностью активов. Взаимосвязь риска с доходностью согласно модели оценки долгосрочных активов описывается следующим образом:
Д = Д б/р + β × (Д р - Д б/р),
где Д — ожидаемая норма доходности;
Д б/р — безрисковая ставка (доход);
Д р — доходность рынка в целом;
β — коэффициент бета.
Основная идея CAPM заключается в том, что инвесторы должны получать 2 вида компенсации: за время (временная стоимость денег) и за риск. Стоимость денег во времени представлена безрисковой ставкой и является компенсацию инвестору за то, что он размещает денежные средства в какие-либо инвестиции на определенный период времени.
Обратите внимание!
Безрисковый доход измеряется, как правило, по ставкам государственных облигаций, так как те практически без риска. На западе безрисковый доход равен примерно 4-5 %, у нас же — 7-10 %. Доходность рынка в целом — это норма доходности индекса данного рынка. В США, например, индекс S&P 500, а в России — индекс РТС.
Оставшаяся часть формулы представляет собой компенсацию за дополнительный риск, взятый на себя инвестором. Здесь мерой риска является коэффициент бета, сравнивающий доходность актива с доходностью рынка за период, а также с рыночной премией.
Коэффициент бета определяется по формуле:
β = Соr х × δ х / δ
или β = Cov x / δ 2 ,
где Соr х — корреляция между доходностью ценной бумаги х и средним уровнем доходности ценных бумаг на рынке;
Cov x — ковариация между доходностью ценной бумаги х и средним уровнем доходности ценных бумаг на рынке;
δ х — стандартное отклонение доходности по конкретной ценной бумаге;
δ — стандартное отклонение доходности по рынку ценных бумаг в целом.
Уровень риска отдельных ценных бумаг определяется на основании таких значений:
β = 1 — средний уровень риска;
β > 1 — высокий уровень риска;
β < 1 — низкий уровень риска.
Акции с большой бетой (β > 1) называют агрессивными, с низкой бетой (β < 1) — защитными. Например, агрессивными являются акции компаний, чьи доходы существенно зависят от конъюнктуры рынка. Когда экономика на подъеме, агрессивные акции приносят большие прибыли. Например, акции автомобилестроительных компаний являются агрессивными. Инвесторы, ожидающие подъема экономики, покупают агрессивные акции, обеспечивающие больший уровень доходности в условиях растущего рынка, чем защитные. Акции компаний, чья прибыль в меньшей степени зависит от состояния рынка, являются защитными (например, акции компаний коммунальной сферы). Доходы таких компаний сокращаются в меньшей степени в условиях экономического спада. Поэтому использование защитных акций в периоды кризисов позволяет инвестору извлечь большую прибыль в сравнении с агрессивными акциями.
По портфелю ценных бумаг β рассчитывается как средневзвешенный β — коэффициент отдельных видов входящих в портфель инвестиций, где в качестве веса берется их удельный вес в портфеле. Таким образом, чем более раскованный портфель, тем больше показатель β, а следовательно, доход должен быть выше, и наоборот.
Следовательно, модель CAPM демонстрирует прямую связь между риском ценной бумаги и ее доходностью , что позволяет ей показать справедливую доходность относительно имеющегося риска и наоборот.
Пример 4
Определим значение коэффициента β для ценной бумаги А. В табл. 3 приведены данные о доходности ценной бумаги и всего рынка за девять лет.
Таблица 3. Доходность ценных бумаг А и В
|
Доходность акции А, (R n , %) |
Доходность рынка (R, %) |
|
|
R средняя доходность |
||
Дисперсия доходности рынка:
δ 2 рынка = ((5 - 6,7) 2 + (-4 - 6,7) 2 + (-2 - 6,7) 2 + (4 - 6,7) 2 + (9 - 6,7) 2 + (7 - 6,7) 2 + (12 - 6,7) 2 + (14 - 6,7) 2 + (15 - 6,7) 2) / 9 - 1 = 44,5.
Коэффициент выборочной ковариации доходности акции и рынка:
Cov = ((3 - 4,8)(5 - 6,7) + (-2 - 4,8)(-4 - 6,7) + (-1 - 4,8)(-2 - 6,7) + (2 - 4,8)(4 - 6,7) + (6 - 4,8)(9 - 6,7) + (5 - 4,8)(7 - 6,7) + (8 - 4,8)(12 - 6,7) + (10 - 4,8)(14 - 6,7) + (12 - 4,8)(15 - 6,7)) / 9 - 1 = 31,42.
Коэффициент β для ценной бумаги А:
β = 31,42 / 44,5 = 0,706.
Полученный результат говорит о том, что если в следующем году доходность рынка вырастет на 1 %, то инвестор вправе ожидать рост доходности акции в среднем на 0,706 %.
Таким образом, совокупность различных ценных бумаг, принадлежащих инвестору, образует портфель ценных бумаг, формирование которого имеет целью обеспечить оптимальное сочетание выгодности (доходности), надежности и ликвидности ценных бумаг. А постоянный мониторинг и оценка риска портфеля ценных бумаг позволят инвестору повысить доходность вложений.
Доходность /х, ожидаемая инвестором от акции, зависит от ее рискованности. Чем выше риск, тем выше ожидаемая доходность. Кроме того, доходность зависит от уровня процентных ставок в экономике. Чем выше уровень процентных ставок, тем выше ожидаемая доходность акций любой компании. К счастью, нет никакой необходимости тщательно определять величину ц. Оказывается, что стоимость фондового опциона, выраженная через цену базовой акции, совершенно не зависит от величины р. Несмотря на это, существует один аспект, связанный с ожидаемой доходностью, который часто вызывает недоразумения и стоит отдельного изучения.
Из равенства (13.1) следует, что величина //А/ представляет собой ожидаемое относительное изменение цены акции за очень короткий промежуток времени Д/. Это значит, что // - это ожидаемая доходность за очень короткий временной интервал А/,. Естественно предположить, что величина [л также ярляется ожидаемой непрерывной начисляемой доходностью акции за относительно долгий период времени. Однако это не так. Непрерывно начисляемая доходность акции за Т лет равна
1 8т х ¦= ~.1птгI о о
Из равенства (13.7) следует, что математическое ожидание Е(х) величины х равно ц - Причина различий между величинами // в равенстве (13.1) и //, - гт2/2 в равенстве (13.7) является неочевидной, но очень существенной. Рассмотрим очень большое количество очень коротких периодов времени А*. Обозначим через 6"г цену акции в конце гго интервала, а через АБг - разность Si.fi - Ь",При сделанных предположениях средняя доходность акции на каждом интервале времени близка к величине ц. Иначе говоря, значение // близко к арифметическому среднему величин Д5’,/5"г". Однако ожидаемая доходность на всем промежутке времени, состоящем из интервалов А/, близка к величине //-Е(БТ) = Б0е»т.
Логарифмируя это равенство, получим
Ь[Е(БТ)} = 1п(50) + »Т.
Соблазнительно положить
1и{Е{Бт)} = ??рп(5г)],
так чтобы выполнялось равенство Ь" - 1п(6"о) = цТ, или Е > Е, так что ^ Пример из деловой практики 13.1. Доходность взаимных фондов может вводить в заблуждение
Разница между параметрами /х и - о2 /2 часто проявляется в отчетах о доходности взаимных фондов. Предположим, что управляющий некоего взаимного фонда указал в отчете за пять лет следующие значения, представляющие собой показатели годовой доходности.
15% 20% 30%20% 25%
Арифметическое среднее этих чисел, представляющее собой их сумму, деленную на пять, равно 14%. Однако инвестор, вложивший деньги на пять лет, на самом деле получит меньше 14% годовых. Стоимость 100 долл. через пять лет будет равной следующей величине.
100 х 1,15 х 1,20 х 1,30 х 0,80 х 1,25 = 179,40 долл.
В противоположность этому, 14% годовых при ежегодном начислении принесло бы
100 х 1.145 = 192,54 долл.
Фактическая средняя доходность к концу пятого года равна
100 х 1Д2451 = 179,40 долл.
т.е. 12,4% годовых.
Какую же среднюю доходность должен был указать управляющий взаимным фондом? Ему было бы выгодно заявить: “Средняя годовая доходность, полученная нами за пять лет, равна 14%”. Несмотря на то что это правда, такое утверждение является неоднозначным. Намного точнее сказать: “Средняя доходность, полученная вкладчиком нашего фонда за последние пять лет, равна 12,4% в год”. В некоторых странах регулирующие органы требуют, чтобы управляющие инвестиционными фондами отчитывались именно так.
Это явление хорошо известно математикам. Так, геометрическое среднее нескольких чисел, не совпадающих друг с другом, всегда меньше арифметического среднего. В нашем примере доходность вычисляется путем последовательного умножения чисел 1,15, 1,20, 1,30, 0,80 и 1,25. Арифметическое среднее этих чисел равно 1,140, а геометрическое среднее - только 1,124.
Еще по теме Ожидаемая доходность:
- ЧАСТЬ III. УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ ГЛАВА 13. ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И РИСК ПОРТФЕЛЯ
- Рис. 9.11. Перевернутая кривая доходности Предполагаемая будущая доходность
Ожидаемая доходность портфеля рассчитывается на основе ожидаемой доходности активов. Каким образом определяется ожидаемая доходность актива? В этом вопросе можно воспользоваться двумя приемами. Первый состоит в том, чтобы на основе прошлых данных статистики доходности актива рассчитать ее среднеарифметическое значение по формуле:
Данные о доходности актива за прошедшие 9 лет представлены в таблице:
Ожидаемая доходность актива в расчете на год равна:
Второй подход заключается в учете возможного будущего вероятностного распределения доходности актива. Ожидаемая доходность актива в этом случае определяется как среднеарифметическая взвешенная, где весами выступают вероятности каждого события. В сумме все возможные варианты событий должны составлять 100% вероятности. Формулу ожидаемой доходности актива можно записать в следующем виде:
Знаете ли Вы, что: таким широким разнообразием инвестиционных возможностей , какое предоставляет компания Альпари, не может больше похвастаться ни один Форекс-брокер.
